TU Berlin

Numerische FluiddynamikModellreduktion für Transportvorgänge

Inhalt des Dokuments

zur Navigation

Modellreduktion von Transportprozessen

Abbildung 3 - POD Rekonstruktion mit sieben Moden kann die wesentlichen Strukturen nicht abbilden.
Lupe
Abbildung 1 - Originale Daten der Dichte in einer Verbrennungskammer.
Lupe
Abbildung 2 - Rekonstruktion der Verbrennung mit 7 verschobenen POD Moden.
Lupe

Modellreduktion

Bei der Konstruktion von Strömungsmaschinen werden Simulationen mit diskretisierten Navier Stokes Gleichungen durchgeführt. Die Diskretisierung dieser Gleichungen führt auf Gleichungssysteme mit Millionen von Freiheitsgraden, welche numerisch sehr aufwendig zu lösen sind. Deshalb ist es für das Konstruieren und Optimieren von Strömungsmaschinen sehr wichtig die Anzahl der Freiheitsgrade auf ein Minimum zu begrenzen. Modellreduktion versucht dieses Problem zu lösen, indem es das ursprüngliche System mit vielen Freiheitsgraden durch ein kleines System mit wenigen Freiheitsgraden ersetzt. Die kleinen Systeme sollen dabei eine möglichst gute Approximation des Orginalsystems ergeben.

Moden-Basierte Modellreduktion

Die meist verwendete Methode für die Reduktion von Modellen ist die Proper Orthogonal Decomposition (POD), welche einer Singulärwertzerlegung von Momentaufnahmen der Strömung entspricht. Die POD ist in der Lage selbst in sehr komplizierten Dynamiken wiederkehrende räumliche Strukturen zu identifizieren und so die Dynamik über wenige Parameter zu beschreiben. Die Strukturen werden räumliche Moden φi(x) genannt und können zusammen mit den zugehörigen Amplituden αi(t) die ursprüngliche Dynamik q(x,t) approximieren:

Das reduzierte Modell kann dann über eine Projektion (Galerkin-Projektion) der ursprünglichen Gleichungen auf diese wenigen Moden gewonnen werden. So ist es möglich das System von O(106) Gleichungen auf ein System mit N ~ O(10) Freiheitsgraden zu reduzieren. Der Ansatz in Gleichung (1) erlaubt deshalb mit wenigen freien Parametern das gesamte Modell effizient zu beschreiben und zu Kontrollieren bzw. zu Optimieren.

 

Forschung: Moden-Basierte Modellreduktion für Transportprozesse

Leider ist der Ansatz in Gleichung (1) für Strömungen, mit bewegten, scharfen Strukturen nicht geeignet, da man eine Vielzahl von Moden für eine gute Approximation benötigt. Dieser Umstand macht die Anwendung solcher reduzierter Modelle für viele interessante Systeme, wie z.B. bewegte Flammen, Stoßwellen oder akustische Wellen unbrauchbar. Das Ziel unserer Forschung ist es deshalb, den vorhandenen Ansatz für Transportprozesse zu verallgemeinern, um ihn für unsere Forschung verwenden zu können.

Bisher verfolgen wir zwei verschiedene Ansätze:

  • Die Shifted POD (engl. verschobene POD) zerlegt die Daten in verschiedene Strukturen, mit einer einzigen, zeitabhängigen Transportgeschwindigkeit. Für diese Methode gibt es bereits drei verschiedene Algorithmen, welche die Moden und Amplituden der verschiedenen Transportgeschwindigkeiten erkennen. In der allerersten Methode wurde ein Verfahren angewendet, welches das Originalfeld iterativ verschiebt und reduziert [1]. Anschließend wurde in [2] ein verbessertes Verfahren vorgestellt, welches auf der Optimierung des Approximationsfehlers basiert. Das Optimierungsverfahren wird zurzeit weiterentwickelt. Erste Resultate des neuen Optimierungsverfahrens sind in [3] zu finden. Die shifted POD konnten bereits erfolgreich für die Beschreibung der Transportvorgänge in gepulsten Detonations-Brennkammern verwendet werden, siehe Abbildung 1,2 und 3. 
  • Die Front Transport Reduktion (FTR) versucht Strömungsfelder mit scharfen Fronten in zwei oder drei Raumdimensionen und komplexer Dynamik zu reduzieren. Der Ansatz zerlegt das Strömungsfeld q(x,t)=f(φ(x,t)) mithilfe einer nichtlinearen Funktion f, welche die Form der Front parametrisiert und einer Niveaumengen Funktion φ. Das Feld φ erzeugt dabei eine lokale Koordinate, welche die Distanz zur Front parametrisiert. Die lokale 1D artige Beschreibung der Front ermöglicht es diese in eine komplexe zwei oder drei dimensionale Dynamiken einzubetten. Die Freiheit φ weit weg von der Front zu wählen, ermöglicht es uns Felder zu wählen, welche sich einfach mit dem Ansatz (1) zerlegen lassen. Der Ansatz der FTR wurde in [4] auf die Verbrennung von Wasserstoff angewandt. Abbildung 4 zeigt eine direkte Gegenüberstellung der FTR und der POD für die Rekonstruktion des H2-Massenanteils eines Verbrennungsprozesses. Hierbei wird die Ablösung des unverbrannten H2 Anteils in den verbrannten Anteil mit sieben Moden rekonstruiert. Die FTR kann das unverbrannte Restgas im Inneren als „Inselstruktur“ wiedergeben. Dahingegen kann selbst mit erhöhter Zahl von Moden keine Inselstruktur mit der POD erreicht werden. Dementsprechend ist die Differenz zwischen Originaldaten und approximierten Feldern bei der POD besonders an den strukturell wichtigen Stellen signifikant.
Abbildung 4 - Vergleich zwischen POD und der Front Transport Reduktions-Methode (FTR) für den normalisierten H2 - Massenanteil.
Lupe

Publikationen

  1. Reiss, J., P. Schulze, J. Sesterhenn und V. Mehrmann. The shifted proper orthogonal decomposition: A mode decomposition for multiple transport phenomena. SIAM Journal on Scientific Computing, 40: 125–131, 2018.DOI: 10.1137/17M1140571
  2. Schulze, P., J. Reiss und V. Mehrmann. Model reduction for a pulsed detonation combuster via shifted proper orthogonal decomposition. In Active Flow and Combustion Control 2018, Springer International Publishing, S. 271–286, 2019.DOI: 10.1007/978-3-319-98177-2_17
  3. Reiss, J.. Model reduction for convective problems: formulation and application. IFAC-PapersOnLine, 51(2): 186–189, 2018. DOI:10.1016/j.ifacol.2018.03.032
  4. P. Krah, M. Sroka, and J. Reiss. "Model Order Reduction of Combustion Processes with Complex Front Dynamics." arXiv preprint arXiv:1912.03004 (2019).

Navigation

Direktzugang

Schnellnavigation zur Seite über Nummerneingabe